Théorie des nombres

1. Nombres parfaits

   Un nombre égal à la somme de ses diviseurs propres est parfait. Un diviseur propre est un diviseur autre que le nombre lui-même.

    Exemple :

   a=28     les diviseurs de 28 sont : 1, 2 ,4,7 ;14 et 28

   En outre : 1+2+4+7+14=28

   En conséquence 28 est parfait

   Les nombres parfaits sont rares, il n’en existe que trois inférieurs à 1000 qui sont 6, 28 et 496

   Ensuite vient 8128, puis 33 550 336,
   8 589 869 056,
   137 438 691 328,
   2 305 843 008 139 952 128   (découvert par Leonhard Euler),
   2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176, 

   Actuellement, 40 nombres parfaits sont connus. Le plus grands possède 12 640 858 chiffres et est égal à:2^{20 996 010}(2^{20 996 011}-1)

2. Nombres aimables    

   Les membres d'un couple de nombres entiers (a,b) sont qualifiés de nombres « aimables » si la somme des diviseurs de a (a exclu mais 1 compris) est égale à b et si la somme des diviseurs de b (b exclu mais 1 compris) est égale à a. L'exemple des valeurs les plus petites est constitué par le couple (220,284) qui a été signalé il y a fort longtemps par Platon. On connaît un très grand nombre de tels couples numériques. Une formule générale avec laquelle ces nombres sont susceptibles d'être calculés, a été découverte aux environs des années 850 par Thabit ibn Qurra (826-901).

    

   Si p = , q =  et r = où n >1 est entier, p,q et r sont des nombres premiers, alors .pq et .r constituent une paire de nombres « aimables ». Grâce à cette formule, on obtient la paire (220,284) déjà mentionnée, puis (17296,18416) et (9363584, 9437056) mais la paire (6232, 6368) n'est pas donnée par cette formule?
   
   

   Existe-t-il une infinité de nombres aimables ?

     

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